Ekonometrija

View previous topic View next topic Go down

Ekonometrija

Post  Admin on Tue Nov 24, 2009 5:35 pm

SADR@AJ
1. UVODNA RAZMATRANJA 3
1.1. Predmet ekonometrije 3
1.2. Modeli 3
1.3. Ekonometrijski postupak 5
1.4. Literatura 7
2. LINEARNI REGRESIONI MODELI 8
2.1. Uvod 8
2.2. Linearni regresioni model sa dve promenljive 11
2.2.1. Ocenjivanje parametara metodom najmanjih kvadrata 12
2.2.2. Koeficijenat korelacije i determinacije 18
2.2.3. Statisti~ki testovi 21
2.2.4. Analiza varijacija 23
2.2.5. Svo|enje nekih nelinearnih na linearni model 24
2.2.6. Predvi|anja 26
2.3. Linearni regresioni model sa vi{e promenljivih 27
2.3.1. Ocenjivanje parametara metodom najmanjih kvadrata 28
2.3.2. Korelaciona matrica 29
2.3.3. Statisti~ki testovi 30
2.3.4. Predvi|anje 31
2.4. Ve`be 32
2.5. Literatura 33
3. ANALIZA VREMENSKIH SERIJA 34
3.1. Uvod 34
3.2. Trend vremenske serije 36
3.2.1. Metod pokretnih sredina 36
3.2.2. Analiti~ke metode odre|ivanja trenda 40
3.3. Metoda eksponencijalnog izravnjavanja 43
3.4. Metoda Holt-Wintersa 43
3.5. Primeri 44
4. SPECIJALNI PROBLEMI LINEARNIH REGRESIONIH MODELA 49
4.1. Uvod 49
4.2. Multikolinearnost 49
4.3. La`ne (ve{ta~ke) promenljive 53
4.4. Heteroskedasti~nost i uop{tena metoda najmanjih kvadrata 56
4.5. Uop{tena metoda najmanjih kvadrata 60
4.6. Autokorelacija 61
4.6.1. Durbin-Watson-ov test prisustva autokorelacije 66
5. METOD SIMULTANIH JEDNA^INA 68
5.1. Identifikacija 70
5.2. Ocenjivanje parametara indirektnom metodom najmanjih kvadrata 76
5.3. Ocenjivanje parametara dvostepenom metodom najmanjih kvadrata 77


1. UVODNA RAZMATRANJA
1.1. Predmet ekonometrije
U studiji bilo koje nau~ne discipline celishodno je, na po~etku, definisati njen okvir i predmet istra`ivanja. Mada je sasvim izvesno da je svaka definicija nedovoljno obuhvatna, sigurno je da je najvernija ona koja obuhvata najva`nije karakteristike. U tom smislu, ekonometrija se mo`e definisati kao dru{tvena nauka koja, povezuju}i saznanja dobijena ekonomskom statistikom, ima za cilj kvantitativnu analizu ekonomskih pojava (JOHNSTON, 1984). Statisti~ki sadr`aj ekonometrijskih metoda je ono {to razlikuje ekonometriju od matemati~ke ekonomije koja, koriste}i deterministi~ke metode, ima isto za cilj kvantitativnu analizu ekonomskih pojava. Drugim re~ima, ekonometrija, koriste}i statisti~ke metode, ima za cilj proveru i ocenu hipoteza izra`enih putem ekonomskih modela, koji su izgra|eni na premisama ekonomske teorije, a na bazi statisti~kih podataka dobijenih ekonomskom statistikom.
Osim provere validnosti ekonomskog modela u odnosu na realno utvr|ene ~injenice o ekonomskoj pojavi koja se opisuje datim modelom, ekonometrija, kao drugi va`ni cilj, ima utvr|ivanje kvanititativnih ocena parametara, koji se pojavljuju u formulaciji ekonomskog modela. Na taj na~in se kvantitativno ocenjuje, veli~ina veze izme|u pojedinih promenljivih, koje ulaze u formulaciju ekonomskog modela. Ovaj drugi cilj je od izuzetne va`nosti za prakti~nu primenu ekonometrije. Na primer, mogao bi se pretpostaviti slede}i ekonomski model:

koji povezuje:
Y - prihod od prodaje nekog proizvoda, i
X - cenu proizvoda.
Parametri a i b su pozitivne numeri~ke vrednosti. Za preduze}e koje proizvodi i prodaje dati proizvod, osim ~injenice da postoji linearna zavisnost izme|u prihoda od prodaje i veli~ine cene proizvoda, od bitne je va`nosti i ocena vrednosti parametara a i b.
Razvoj i kori{}enje ekonometrijskih metoda u istra`ivanju ekonomskih pojava po~inje ne{to pre Prvog svetskog rata. U periodu izme|u dva svetska rata on je naro~ito intezivan i 1932. god. se osniva Me|unarodno ekonometrijsko udru`enje, koje po~inje sa izdavanjem svog ~asopisa "Econometrica". Termin "ekonometrija" je uveo 1926. god. norve{ki ekonomista i statisti~ar Ragnar Frish. Termin je modeliran prema izrazu "biometrika", koji ozna~ava podru~je biolo{kih istra`ivanja, koje koristi statisti~ke metode. Sli~no ovome, iskovani su i termini "sociometrija", "tehnometrija", "psihometrija", itd., koji ozna~avaju ekstenzivno kori{}enje statisti~kih metoda u odgovaraju}im naukama.
Istorijski, predmet ekonometrijskih istra`ivanja je bio:
* analiza privrednih ciklusa,
* istra`ivanje tr`i{ta, i
* problemi dono{enja ekonomskih odluka na makro i mikro planu.

Savremena ekonometrijska istra`ivanja su pre svega usmerena na probleme dono{enje ekonomskih odluka uop{te kao i na problem istra`ivanja tr`i{ta.
1.2. Modeli
Ekonometrija i njen postupak su, svakako, ~vrsto utemeljeni na nau~nom postupku. Naime, funkcija nauke je da ustanovi op{te zakone koji opisuju pona{anje empirijskih pojava - objekata ili doga|aja - koji su u sferi razmatranja date nauke, ~ime objedinjuje i povezuje na{e znanje o pojedina~nim objektima ili doga|ajima i da omogu}i pouzdano predvi|anje budu}ih objekata i doga|aja (BRAITHWAITE, 1968). Nau~ni metod se sastoji, prvo, u formulisanju teorije ili "aksiomatizovanog deduktivnog sistema", (POPPER, 1968). Zatim, po formulisanju teorije i njenih logi~kih implikacija, proverava se mo} teorije da objasni empirijski posmatrane pojave i da predvidi budu}e doga|aje. Nau~na metoda je, zna~i, struktura koja se zasniva na aksiomima i logi~kom rezonovanju, na na~in, sli~an deduktivnoj metodi ~iste matematike i logike.
[iroko kori{}eni nau~ni metod analize pojednih pojava je kori{}enje modela. R.L. Ackoff daje slede}u klasifikaciju modela (ACKOFF, 1962):
1. Ikoni~ki model je predstava "u malom" (ili "u velikom") realnog objekta i to tako da "li~i" na ono {to predstavlja. Primer ove klase modela je model konstrukcije aviona, brane hidrocentrale, itd.
2. Analogni model koristi jednu veli~inu da bi predstavio neku drugu veli~inu. Za te dve veli~ine ka`emo da su analogne. Tako na primer, logaritmar je analogni model, gde se du`ina koristi za predstavljanje brojnih vrednosti.
3. Simboli~ki ili matemati~ki model predstavlja osobine nekog objekta putem abstraktne relacije koja se defini{e putem simbola. Na primer, snaga, izra`ena simbolom P, koja se generi{e na otporniku, koji se prestavlja simbolom R, je povezana sa strujom, koja se predstavlja simbolom I, putem relacije:

gde su kori{}eni i simboli "=", " " i " " za odgovaraju}e operacije.
Drugim re~ima, kori{}enje simboli~kih ili matemati~kih modela je uvo|enje matemati~kog rezonovanja u analizu pojedinih pojava, pa i ekonomskih. Matemati~ki model je idealizovana predstava ekonomskih pojava, gde su me|usobne veze ekonomskih promenljivih date uz pomo} matemati~kog simbolizma i proces dedukcije se zamenjuje matemati~kim operacijama.
Pojam ekonomskog modela, koji spada u klasu matemati~kih modela, je mogu}e shvatiti pore|enjem sa ikoni~kim modelom aviona. Isto kao i ikoni~ki model aviona i ekonomski model je slika "u malom" ekonomske pojave koju predstavlja. Termin slika "u malom" ozna~ava, da se iz mno{tva promenljivih i parametara koje su karakteristi~ne za datu pojavu, u model ugra|uju samo one koje su bitne za opis date pojave.
Ovo va`i i za ikoni~ki model aviona i ekonomski model. Naime, ikoni~ki model, na primer, od mno{tva elemenata koji ~ine konstrukciju pravog aviona ima ugra|ene samo one bitne: krila, trup itd. Me|utim, nasuprot ikoni~kog modela aviona koji je sastavljen od elemenata koji imaju svoju materijalnu realazijaciju, ekonomski model za svoje strukturne elemente ima abstraktne veli~ine izra`ene simbolima koji opisuju ekonomske promenljive kao {to su cene, tra`nja, dobit i sli~no. Umesto fizi~kih veza koje spajaju elemente ikoni~kog modela, promenljive ekonomskog modela su povezane uz pomo} matemati~kih relacija.
Proces formulacije matemati~kog modela prolazi kroz slede}e faze:
a) definisanje nivoa abstrakcije, ili drugim re~ima, nivoa detalja sa kojim se opisuje data pojava, specifikacijom skupa pretpostavki;
b) u skladu sa rezultatima faze a) definisanje promenljivih i parametara matemati~kog modela, koje su bitne za `eljeni opis;
c) definisanje ralacije izme|u promenljivih uz pomo} matemati~kog simbolizma;
d) re{avanje matemati~kih relacija definisanih u fazi c) putem odgovaraju}ih matemati~kih postupaka; i
e) interpretacija dobijenih rezultata u fazi d) proverom njihove verodostojnosti.
Jasno je, da se u u gornjem postupku pojedine faze mogu ponoviti u skladu sa kvalitetom dobijenih rezultat.
Na osnovu navedenog procesa formulacija matemati~kog modela mo`e se zaklju~iti, da bilo kakav model po definiciji, mora da ostavi po strani ~itav niz detalja koji ~ine sastavni deo pojave koja se analizira. Zna~i, bilo kako slo`en ekonomski model nije u stanju, da do detalja objasni svu slo`enost ekonomske pojave, ali pretpostavljaju}i da su u model ugra|ene bitne promenljive za dati nivo abstrakcije i da su na bazi ekonomske teorije formulisane adekvatne relacije koje povezuju promenljive, tada ovakav model mo`e da objasni bitne karakteristike analizirane ekonomske pojave.
Saznajna vrednost ekonomskih modela je bazirana na ~injenici da je retko potrebno znati sve o nekoj pojavi, ve} jedino veli~ine koje su bitne za dati nivo abstrakcije u analizi date pojave. Me|utim, stalno je prisutna opasnost, da model propusti da obuhvati jednu ili vi{e promenljivih, koje su bitne za opis date pojave. Zadatak ekonometrijskih istra`ivanja je da, su~eljavaju}i statisti~ke podatke o datoj pojavi sa ekonomskim modelom kojim se `eli opisati data pojava, pru`e ocenu njegove vrednosti.
1.3. Ekonometrijski postupak
Klasa ekonomskih modela koji }e se razmatrati u ovom tekstu se izra`ava putem relacije
(1.1)
gde:
Y - ozna~ava takozvanu zavisnu (mernu, posmatranu, koja se obja{njava) promenljivu;
X - ozna~ava takozvanu nezavisnu (kontrolisanu, odre|uju}u, koja obja{njava) promenljivu; i
- parametri modela.

Za ilustraciju ekonomskih modela ove klase daju se nekoliko razli~itih modela funkcije ukupne tr`i{ne tra`nje kojima se utvr|uje zavisnost tra`nje Y nekog dobra od - sopstvene cene - X, /2/:
1. Linearna zavisnost
2. Eksponencijalna zavisnost
3. Paraboli~na zavisnost:
Druga klasa ekonomskih modela koje razmatra ekonometrija, ~ine takozvani strukturni modeli koji su oblika:
(1.2)
gde:
Y - ozna~ava takozvane endogene promenljive, promenljive koje se odre|uju na bazi modela (1.2);
X - ozna~ava takozvane egzogene promenljive ili promenljive koje se smatraju datim u modelu (1.2); i
i - su parametri modela.
Kao ilustracija ove klase modela navodi se jednosektorski model nacionalnog dohotka:

gde su:
Y1 - potro{nja i Y2 - dohodak endogene promenljive, a
X - investiciona potro{nja je egzogena promenljiva.
Ekonometrijski postupak }e se ilustrovati na primeru modela klase (1.1). Sli~no va`i i za modele klase (1.2). Naime, ekonometrijski postupak uklju~uju}i i fazu formiranja ekonomskih modela se odvija u slede}e ~etiri faze:
F1. Na bazi eksperimentalnih podataka i ekonomske teorije pretpostavlja se da se vektor promenljivih od interesa Y mo`e matemati~ki modelovati kao

gde je linearni ili nelinearni model u odnosu na vektor parametara , a X ozna~ava matricu vrednosti nezavisnih promenljivih.
F2. Zamenom eksperimentalno ustanovljenih vrednosti za zavisnu promenljivu Yj, j =1,2,...,N, i nezavisne promenljive Xij, i = 1,2,...,k; j = 1,2,...,N, u matemati~ki model razvijen u fazi F1, dobija se sistem jedna~ina:

Veli~ina j je slu~ajna promenljiva koja opisuje odstupanja izme|u vrednosti zavisne promenljive i vrednosti dobijenih matemati~kim modelom razvijenim u fazi F1, i koja se sastoje od:
a) neadekvatnosti matemati~kog modela u opisu date pojave,
b) slu~ajnih elemenata svojstvenih svim dru{tvenim pojavama, koji nastaju pre svega zbog prisustva subjektivnog faktora, i
c) gre{aka u odre|ivanju eksperimentalnih vrednosti promenljivih.
F3. Da bi se iz sistema jedna~ina dobijenih u fazi F2 odredio vektor parametara b potrebno je da je k < N tj. da je broj parametara manji od broja razli~itih eksperimentalnih vrednosti za zavisnu promenljivu. Tako|e je potrebno uvesti i odre|ene pretpostavke o karakteru slu~ajne promenljive j i to na osnovu eksperimentalih podataka. Ove pretpostavke defini{u metod re{avanja sistema jedna~ina iz faze F2. Naj~e{}e se pretpostavlja da je matemati~ko o~ekivanje j jednako nuli, da je varijansa konstantna,a kovarijansa jednaka nuli. Isto tako, ponekad se uvode pretpostavke o tipu raspodele verovatno}a slu~ajne promenljive j.
F4. Na osnovu rezultata faze F3 odgovaraju}om metodom se odre|uju statisti~ke ocene parametra . Metod najmanjih kvadrata, metod maksimalne verodostojnosti, metod minimuma maksimalnih devijacija, itd. neke od metoda koje se naj~e{}e primenjuju.
Nakon odre|ivanja statisti~kih ocena parametara usvojenom metodom, izvodi se statisti~ki test zna~ajnosti dobijenih re{enja, odre|ivanje intervala poverenja za usvojeni nivo zna~ajnosti, kao i testiranje hipoteze da li pojedini parametar ima nultu vrednost u modelu (1.1). Tek nakon uspe{nog zavr{etka svih statisti~kih testova mo`e se smatrati da matemati~ki model (1.1), sa usvojenim nivoom zna~ajnosti, uspe{no obja{njava datu ekonomsku pojavu.

1.4. Literatura
ACKOFF, R. L.
(1962) Scientific Method: Optimizing Applied Research Decisions, John Wiley & Sons, New York
GALE, D.
(1960) The Theory of Linear Economic Models, McGraw Hill, New York
BRAITHWAITE, R.B.
(1968) Scientific Explanation, Cambridge University Pless, London
POPPER, K.F.
(1959) The Logic of Scietnific Discovery, Hutchinson, London
KOOPMANS, T. C.
(1982) Tri eseja o stanju ekonomske znanosti, Centar za kulturnu |elatnost, Zagreb


2. LINEARNI REGRESIONI MODELI
2.1. Uvod
Osnovni problem u kvantitativnom opisivanju ekonomskih pojava je, kao {to je istaknuto u delu 1., izbor promenljivih koje su bitne za `eljeni opis i njihovo povezivanje u obliku matemati~ke relacije. U op{tem slu~aju, relacije koje povezuju jednu promenljivu Y koja se naziva zavisna (ili merena, posmatrana, ona koja se obja{njava) promenljiva, sa u principu ve}im brojem nezavisnih (ili kontrolisanih, obja{njavaju}ih) promenljivih Xi , i = 1,2,...,k, putem relacije:
(2.1)
gde su i parametri modela, se nazivaju regresioni modeli.
Najjednostavniji slu~aj, koji }e se prvo razmatrati, je relacija koja povezuje jednu zavisnu i jednu nezavisnu promenljivu. Broj parametara u relacijama ovakvog tipa je obi~no dva i ovde }e se ozna~avati sa  i . Da bi se mogla definisati ovakva relacija potreban je:
a) skup {X j,Y j )= 1,2,...,N parova koji ~ine observacije vrednosti promenljivih, i to N parova ukupno;
b) matemati~ki oblik relacije koja vezuje zavisnu i nezavisnu promenljivu i parametre  i :
Y = f (X, , ) (2.2)
gde veza mo`e biti linearna ili nelinearna bilo po promenljivama bilo po parametrima; i
c) statisti~ka ocena parametara  i  koji se pojavljuju u relaciji (2.2).
Zadatak ekonometrije je da statisti~kim metodama odredi ocenu parametara  i  u relaciji (2.2), odnosno u op{tem slu~aju parametara i iz relacije (2.1). Isto tako, zadatak ekonometrije je da izvr{i testiranje relacije (2.1) ili (2.2) sa ocenjenim vrednostima parametara u odnosu na realne podatke i na taj na~in doprinese bli`em razumevanju posmatrane ekonomske pojave.
Kad god se `eli oceniti jedna promenljiva Y u funkciji druge promenljive X, fakti~ki se odre|uje statisti~ka veli~ina E(YX), koja ozna~ava uslovno matemati~ko o~ekivanje za promenljivu Y, a za datu vrednost promenljive X tj.:
(2.3)
gde ozna~ava raspodelu uslovnih verovatno}a za y pri datoj vrednosti x, za slu~aj kontinualne raspodele, i:
(2.4),
za slu~aj diskretne raspodele.
Uslovno matemati~ko o~ekivanje (2.3) ili (2.4) je funkcija slu~ajne promenljive X i ta funkcija se naziva regresija (ili regresiona kriva).
Na taj na~in, zavisna promenljiva Y se mo`e izraziti kao:
(2.5)
gde  ozna~ava slu~ajnu promenljivu koja obuhvata odstupanja koja nastaju zbog:
a) neta~nosti u specifikaciji izraza za ;
b) gre{aka u odre|ivanju observacija promenljivih Y i X; i
c) slu~ajnih elemenata svojstvenih svim pojavama sa prisutnim subjektivnim faktorom.
Da bi se regresija (2.5) mogla prakti~no koristiti za odre|ivanje ocene promenljive Y, a za datu vrednost promenljive X, potrebno je uvesti neke pretpostavke o prirodi slu~ajne promenljive . Ove pretpostavke su klju~ne u odre|ivanju ocena parametara regresije, kako sa stanovi{ta metode koja se koristi za ocenjivanje parametara, tako i sa stanovi{ta njihove ta~nosti. Po{to se slu~ajna promenljiva  ne mo`e direktno meriti pretpostavljaju se ili oblik raspodele po kojoj se pona{a  ili samo neki od karakteristi~nih parametara populacije, kao {to su srednja vrednost, varijansa, kovarijansa i sli~no. Ta~nost u~injenih pretpostavki o karakteru slu~ajne promenljive  se proverava na osnovu slaganja vrednosti Y dobijenih regresijom, sa vrednostima observacija za promenljivu Y.
Regresioni modeli kod kojih se uslovno matemati~ko o~ekivanje (2.3 i 2.4) mo`e izraziti kao linearna funkcija promenljivih Xi i parametara tj.:
(2.6)
za slu~aj jedne nezavisne promenljive, odnosno:
(2.7)
za slu~aj k promenljivih, ili:
(2.Cool
odnosno:
(2.9)
se nazivaju linearni regresioni modeli.
Pored svoje analiti~ke jednostavnosti, linearni regresioni modeli su pogodni za opisivanje ekonomskih pojava i iz slede}ih razloga: (TINBERGEN, 1940)
1) Dobro je poznata matemat~ka istina da se skoro svaka funkcija mo`e aproksimirati linearnom u dovoljno malom intervalu. Ova propozicija ne va`i jedino za izuzetne funkcije koje obi~no i nisu od prakti~nog interesa.
2) Nije redak slu~aj da linearna zavisnost i stvarno postoji u pona{anju nekih pojava.
3) Tako|e, sasvim je prirodno po~eti studiju neke pojave ~ine}i najjednostavniju pretpostavku koja je saglasna sa op{tom teorijom.
4) Osim navedenog u prilog opravdanosti linearnih modela govori i ~injenica da je zajedni~ka reakcija velikog broja pojedinaca linearnija od reakcija jednog pojedinca.
Isto tako, kao {to }e se pokazati kasnije, izvesna klasa nelinearnih modela se mo`e transformisati u linearni regresioni model.
Od svih metoda koje mogu koristiti za ocenu parametara linearnih regresionih modela tipa (2.Cool ili (2.9), metoda najmanjih kvadrata se naj~e{}e koristi i ovde }e se i najvi{e razmatrati.
Pretpostavke o karakteru 
Metod najmanjih kvadrata se bazira na slede}em skupu pretpostavki o karakteru slu~ajnih odstupanja :
1) Matemati~ko o~ekivanje ili srednja vrednost odstupanja Ei je jednaka nuli, tj.:

2) Varijansa odstupanja i je konstantna, tj homoskedasti~na:

Ako V( ) nije konstantna, tad imamo heteroskedasti~nost.
3) Kovarijansa odstupanja i i j je jednaka nuli, tj. gre{ke nisu korelisane (ili autokorelisane):

4) Odstupanje Ei nije korelisano sa promenljivom Xj tj.:

Ova pretpostavka tvrdi da promenljiva X nije slu~ajna promenljiva. Metod najamanjih kvadrata se sastoji u minimizaciji sume kvadrata:
(2.10)
gde ozna~ava ocenjenu vrednost promenljive Yi, koja se dobija na osnovu regresionog modela:
(2.11)
za slu~aj jedne nezavisne promenljive, ili:
(2.12)
za slu~aj vi{e nezavisnih promenljivih.
Veli~ine a,b odnosno b1,b2,...bk ozna~avaju ocene parametara ,  odnosno 1, 2 , ... , k , respektivno dobijene metodom najmanjih kvadrata, tj. minimizacijom sume kvadrata (2.10).
Veli~ina:
(2.13)
ozna~ava ocenu slu~ajnih odstupanja i, ili drugim re~ima razliku izme|u stvarne vrednosti promenljive Yi i vrednosti ocenjene regresijom , i ponekad se naziva rezidualom.
Vrednost metode najmanjih kvadrata u ocenjivanju parametara linearnih regresionih modela le`i u ~injenici da dobijene ocene imaju osobine nepristrasnosti, minimalne varijanse i konzistentnosti. Tako|e, uz dodatnu pretpostavku da su slu~ajna odstupanja  data normalnom raspodelom, ocene dobijene metodom najmanjih kvadrata se poklapaju sa ocenama dobijenim metodom maksimalne verodostojnosti, odnosno poseduju i ostale "lepe" osobine ovih ocena.
U daljem tekstu }e se razmotriti detaljnije, kori{}enje metode najmanjih kvadrata prvo za slu~aj linearnog regresionog modela sa jednom nezavisnom promenljivom, a zatim i za slu~aj sa vi{e nezavisnih promenljivih.
2.2. Linearni regresioni model sa dve promenljive
Najjednostavniji slu~aj linearnih regresionih modela je model sa dve promenljive, tj. jednom zavisnom i jednom nezavisnom promenljivom. U tom slu~aju uslovno o~ekivanje ima oblik:
(2.14)
odnosno zavisna promenljiva se izra`ava relacijom:
(2.15)
Odre|ivanje regresije Y na X se svodi na nala`enje ocena a i b, parametara  i , kao i reziduala ej koji predstavljaju ocenu odgovaraju}ih vrednosti slu~ajnih odstupanja j u datom uzorku koji ~ine parovi observacija {Xj, Yj}, j = 1,2,...,N gde sa N kao i dosad ozna~avamo ukupni broj observacija uzorka na osnovu kojeg ocenjujemo regresioni model.
Pre nego {to se pre|e na primenu linearnog regresionog modela sa dve promenljive preporu~ljivo je konstruisati dijagram zavisnosti (raspr{enosti). Dijagram zavisnosti se konstrui{e u pravouglom koordinatnom sistemu, ucrtavanjem svih parova podataka (Xi, Yi), i = 1,2,...,N, pri ~emu se na apcisu nanose vrednosti za nezavisnu promenljivu X, a na ordinatu jedinice zavisne promenljive Y.
Iz dijagrama zavisnosti se mo`e se sagledati:
Da li izme|u zavisne i nezavisne promenljive postoji veza;
Ako veza postoji, da li je pravolinijska ili krivolinijska;
Ako veza postoji i pravolinijka da li direktna ili inverzna.
Na slici ? dati su primeri razli~itih oblika veza izme|u promenljivih.
Y




Primer: Dati su podaci o poslovanju jednog preduze}a koji se odnose na ostvareni profit i izdatke za reklamu u prethodnih 10 godina.


Godina
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993

Profit
325
444
268
605
569
190
946
75
100
661

Izdaci za reklamu
51
47
44
50
56
45
71
38
52
61

Nacrtati dijagram zavisnosti profita u odnosu na izdatke za reklamu i na osnovu njega utvrditi eventualno postojanje, oblik i ja~inu veze izme|u promenljivih.

Re{enje:
X - Izdaci za reklamu (nezavisna promenljiva);
Y - Profit (zavisna promenljiva);









2.2.1. Ocenjivanje parametara metodom najmanjih kvadrata
U ovom slu~aju, suma kvadrata (2.10) ima oblik:
(2.16)
Minimizacija sume kvadrata (2.16) se vr{i u pogledu na parametre a i b i to izjedna~avanjem odgovaraju}ih parcijalnih izvoda sa nulom, tj.:
(2.17)
odnosno:
(2.18)
Sistem jedna~ina (2.18) se naziva normalne jedna~ine i njegovim re{avanjem se dolazi do ocena a i b. Tako se za a dobija:
(2.19)
Ako defini{emo:
, (2.20)
tad na osnovu prve od normalnih jedna~ina (2.18) sledi:
(2.21)
odnosno, regresiona prava prolazi kroz ta~ku odre|enu srednjim vrednostima observacija X i Y respektivno.
Jedna~ina (2.21) tako|e slu`i za odre|ivanje ocene a tj.:
(2.22)
Ocenjena regresiona prava je:
(2.23)
Uvode}i smenu promenljivih:
(2.24)
i oduzimanjem (2.22) od (2.23) dobijamo:
(2.25)
pa se do ocene b mo`e do}i minimizacijom sume kvadrata:
(2.26)
tj.
(2.27)
U slede}em }e se pokazati da su izvedene ocene za a i b metodom najmanjih kvadrata najbolje nepristrasne ocene odgovaraju}ih parametara  i  linearnog regresionog modela (2.14).

Dokaz da je b nepristrasna ocena :
Prvo poka`imo da je b nepristrasna linearna ocena parametra . Naime, iz relacije (2.27) sledi:

odnosno:
(2.28)
jer je
(2.29)
na osnovu definicije (2.24) i (2.20), a gde wi ozna~ava
(2.30)
Relacija (2.28) pokazuje da je b linearna kombinacija observacija Yi . Na osnovu izlo`enog sledi:

ili:
(2.31)
jer je, na osnovu (2.29), (2.30) i (2.24):

prema tome, matemati~ko o~ekivanje dobijene ocene b je:

odnosno, kako je po pretpostavci o karakteru slu~ajnih odstupanja E(i ) = 0 sledi:
E(b) =  (2.32)
Na osnovu relacije (2.32) se zaklju~uje da je b nepristrasna ocena parametra , ili drugim re~ima da je raspodela za b centrirana na vrednosti , te se zbog toga b zove i centrirana ocena.
Na sli~an na~in se dokazuje da je i:
E(a) =  (2.33)
tj. da je a nepristrasna linearna ocena za .
Dokaz da je b najbolja ocena
Da su ocene a i b parametara  i  respektivno, dobijene metodom najmanjih kvadrata i najbolje nepristrasne ocene, u smislu da od svih mogu}ih nepristrasnih ocena imaju minimalnu varijansu, pokaza}e se na primeru parametra b. Naime, varijansa b je:

Na osnovu (2.31) sledi:

odnosno, na osnovu pretpostavki:

i,

sledi:

Kako je,

to se za varijansu ocene b dobija:
(2.34)
Da bi pokazali da je varijansa V(b) i minimalna varijansa, posmatra}e se proizvoljna ocena b' koja je isto nepristrasna odnosno linearna ocena u smislu da se mo`e izraziti kao:

gde su ci konstante koje se mogu izraziti kao:
ci= wi + di (2.35)
s tim {to je wi konstanta koja se sra~unava na osnovu (2.30) a di je proizvoljna konstanta.
Sli~no dosada{njem izvo|enju se pokazuje da je:

Prema tome, da bi b' bilo nepristrasna ocena parametra b, tj. da je:

mora da je:

{to je jedino mogu}e, na osnovu (2.35) i definiciji za wi (2.30), ukoliko va`i:

Varijansa ove proizvoljne ocene b' je:

Na osnovu (2.35) i ~injenice da je:

sledi:

Admin
Admin

Posts : 227
Join date : 2008-06-25

View user profile http://www.maturskiradovi.net

Back to top Go down

Re: Ekonometrija

Post  BigBoy1292 on Wed Dec 15, 2010 9:35 pm

WANTED: Meaningful overnight relationship.

BEER: It's not just for breakfast anymore.

So you're a feminist...Isn't that cute.

Beauty is in the eye of the beer holder.

All men are idiots....I married their king.

IRS: We've got what it takes to take what you've got.

Hard work has a future payoff. Laziness pays off now.

Reality is a crutch for people who can't handle drugs.

Out of my mind...Back in five minutes.

I took an IQ test and the results were negative.




body corporate manager
r4 revolution

BigBoy1292

Posts : 224
Join date : 2010-12-12

View user profile

Back to top Go down

Re: Ekonometrija

Post  BigBoy1292 on Wed Dec 15, 2010 11:38 pm

Arthur was sitting outside his local pub one day, enjoying a quiet pint and generally feeling good about himself, when a nun suddenly appears at his table and starts decrying the evils of drink.

"You should be ashamed of yourself young man! Drinking is a Sin! Alcohol is the blood of the devil!"

Now Arthur gets pretty annoyed about this, and goes on the offensive.

"How do *you* know, Sister?"

"My Mother Superior told me so"

"But have you ever had a drink yourself? How can you be sure that what you are saying is right?"

"Don't be ridiculous - of course I have never taken alcohol myself"

"Then let me buy you a drink - if you still believe afterwards that it is evil I will give up drink for life"

"How could I, a Nun, sit outside this public house drinking?!"

"I'll get the barman to put it in a teacup for you, them no-one will know"

The Nun reluctantly agrees, so Arthur goes inside to the bar.

"Another pint for me, and a triple vodka on the rocks", then he lowers his voice and says to the barman "... and could you put the vodka in a teacup?"

"Oh no! It's not that drunken Nun again is it?"





Marketing Firm
free online games

BigBoy1292

Posts : 224
Join date : 2010-12-12

View user profile

Back to top Go down

Re: Ekonometrija

Post  paganizonda on Sun Dec 19, 2010 7:58 pm

ECOWAS and the African Union have suspended Ivory Coast. The United States and France have threatened sanctions if Mr. Gbagbo does not step down.

Original electoral commission results said Ouattara won the Nov. 28 run-off election with 54 percent of votes, but the constitutional court, which is led by a Gbagbo ally, annulled 10 percent of ballots as fraudulent and proclaimed Gbagbo the winner with 51 percent of votes.

Brick Veneer
rentals in puerto vallarta

paganizonda

Posts : 216
Join date : 2010-12-13

View user profile

Back to top Go down

Re: Ekonometrija

Post  Sponsored content Today at 9:05 pm


Sponsored content


Back to top Go down

View previous topic View next topic Back to top


 
Permissions in this forum:
You cannot reply to topics in this forum